6 Hukum StefanāBoltzmann
6.1 Kaitannya Dengan Hukum Planck
Proof. Hukum StefanāBoltzmann memerihalkan jumlah tenaga yang disinarkan oleh suatu bintang. Hal ini sama seperti mencari luas di bawah lengkung. Maknanya kita perlu kamirkannya terhadap panjang gelombang.
- Luas bawah lengkung ialah hasil kamiran Hukum Planck terhadap panjang gelombang dari sifar ke infiniti, \[ E = \int_0^\infty \frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_BT}}-1} \text{d}\lambda. \tag{6.1}\]
- Pembolehubah \(x\) ditakrifkan sebagai, \[ x = \frac{hc}{\lambda k_BT}, \tag{6.2}\] maka, \[ \lambda = \frac{hc}{xk_BT}, \tag{6.3}\] dan, \[ \text{d}\lambda = \text{d}x \frac{hc}{x^2k_BT}. \tag{6.4}\]
Menggantikkan pers. 6.2 sehingga pers. 6.4 ke dalam pers. 6.1 akan menghasilkan, \[ E = \frac{8 \pi k_B^4 T^4}{h^3c^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\text{d}x. \tag{6.5}\] Kamiran tersebut boleh diselesaikan menggunakan petua @ref(thm:mu-thm-03) tanpa perlu selesaikannya menggunakan tangan.
Petua 6.1 Kamiran \(\frac{x^{(n-1)}}{e^x-1}\) terhadap \(x\) dari sifar ke infititi ialah, \[ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{(n-1)}}{e^x - 1}\text{d}x = \Gamma(n)\left(\frac{1}{1^n}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\dots\right). \]
Dipetik dari (Spiegel, Lipschutz, and Liu 2009): contoh 18.80.
Fungsi gamma \(\Gamma(n)\) dalam petua 6.1 hanyalah merujuk kepada fungsi faktorial \(\Gamma(n)=(n-1)!\). Untuk kes pers. 6.5, \(n=4\) maka fungsi gammanya \(\Gamma(4)=3!\). Disebabkan \(n=4\), kita akan merujuk petua petua 6.2 untuk menyelesaikan penjumlahan tersebut.
Petua 6.2 (Penjumlahan salingan menaik berkuasa 4) \[ \sum_{k}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\left(\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\dots\right) = \frac{\pi^4}{90}. \]
Dipetik dari (Spiegel, Lipschutz, and Liu 2009): contoh 21.20.
Maka, kita akan peroleh, \[ E \frac{8\pi k_B^4T^4}{h^3c^3}(3!)\left(\frac{\pi^4}{90}\right); \tag{6.6}\] \[ E = \frac{8\pi^5 k_B^4T^4}{15h^3c^3}. \tag{6.7}\]
Dengan membandingkan pers. 6.7 dengan hukum StefanāBoltzmann, maka kita akan menerka perhubungan ini: \[ \sigma T^4 \stackrel{?}{=} \frac{8\pi^5 k_B^4}{15h^3c^3}T^4, \] tetapi terkaan ini tidak benar kerana jika kita kira setiap satu pemalar tersebut, kita akan dapati nilainya tidak sama dengan pemalar StefanāBoltzmann, \(\sigma\), \[\begin{align*} \frac{8\pi^5 k_B^4}{15h^3c^3} &= 7.5657\times 10^{-16}\,\text{J}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{K}^{-4},\\ \sigma &= 5.6704\times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{K}^{-4},\\ \frac{8\pi^5 k_B^4}{15h^3c^3} &\neq \sigma. \end{align*}\]
Apa yang berlaku di sini ialah \(U\) dalam persamaan Planck yang kita hasilkan itu merujuk kepada ketumpatan tenaga cahaya berfrekuensi tertentu (Rujuk bahagian āBentuk-Bentuk Lain Persamaan Planckā untuk keterangan lanjut). Oleh itu, kamirannya, iaitu \(\int U \text{d}\lambda\), masih merujuk kepada ketumpatan tenaga cahaya tetapi dijumlahkan untuk semua frekuensi. Sedangkan hukum StefanāBoltzmann merujuk kepada jumlah tenaga mutlak. Kita perlukan pekali \(\frac{c}{4}\) untuk memperbetulkan keadaan1, \[ E = \frac{c}{4}\frac{8\pi^5 k_B^4}{15h^3c^3}T^4 \tag{6.8}\] Kemudian, kita boleh sahkan bahawa, \[ \sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15h^3c^2}, \tag{6.9}\] seperti yang ingin dibuktikan.