6  Hukum Stefan–Boltzmann

Hukum 6.1 (Hukum Stefan-Boltzmann) Jumlah tenaga, $E$, yang dikeluarkan oleh bintang adalah berkadaran dengan suhunya, $T$, $$E(T)=\sigma T^4,$$

dengan maksud bahawa…

simbol	maksud	nilai
$E$	tenaga	pembolehubah bersandar $T$
$T$	suhu bintang	pembolehubah tak bersandar
$\sigma$	pemalar Stefan–Boltzmann	$5.6704\times {10}^{-8}\text{W}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-4}$

6.1 Kaitannya Dengan Hukum Planck

Proof. Hukum Stefan–Boltzmann memerihalkan jumlah tenaga yang disinarkan oleh suatu bintang. Hal ini sama seperti mencari luas di bawah lengkung. Maknanya kita perlu kamirkannya terhadap panjang gelombang.

Usul

1. Luas bawah lengkung ialah hasil kamiran Hukum Planck terhadap panjang gelombang dari sifar ke infiniti, $$\begin{array}{}\text{(6.1)}& E={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1}\text{d}\lambda .\end{array}$$
2. Pembolehubah $x$ ditakrifkan sebagai, $$\begin{array}{}\text{(6.2)}& x=\frac{hc}{\lambda k_{B}T},\end{array}$$ maka, $$\begin{array}{}\text{(6.3)}& \lambda =\frac{hc}{x{k}_{B}T},\end{array}$$ dan, $$\begin{array}{}\text{(6.4)}& \text{d}\lambda =\text{d}x\frac{hc}{x^2{k}_{B}T}.\end{array}$$

Menggantikkan pers. 6.2 sehingga pers. 6.4 ke dalam pers. 6.1 akan menghasilkan, $$\begin{array}{}\text{(6.5)}& E=\frac{8\pi k_B^4{T}^4}{h^3{c}^3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^3}{e^x-1}\text{d}x.\end{array}$$ Kamiran tersebut boleh diselesaikan menggunakan petua @ref(thm:mu-thm-03) tanpa perlu selesaikannya menggunakan tangan.

Petua 6.1 Kamiran $\frac{x^{(n-1)}}{e^x-1}$ terhadap $x$ dari sifar ke infititi ialah, $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{(n-1)}}{e^x-1}\text{d}x=\mathrm{\Gamma }(n)(\frac{1}{1^n}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\dots ).$$

---

Dipetik dari (Spiegel, Lipschutz, and Liu 2009): contoh 18.80.

Fungsi gamma $\mathrm{\Gamma }(n)$ dalam petua 6.1 hanyalah merujuk kepada fungsi faktorial $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$. Untuk kes pers. 6.5, $n=4$ maka fungsi gammanya $\mathrm{\Gamma }(4)=3!$. Disebabkan $n=4$, kita akan merujuk petua petua 6.2 untuk menyelesaikan penjumlahan tersebut.

Petua 6.2 (Penjumlahan salingan menaik berkuasa 4) $$\sum _k^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}=(\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\dots )=\frac{{\pi }^4}{90}.$$

---

Dipetik dari (Spiegel, Lipschutz, and Liu 2009): contoh 21.20.

Maka, kita akan peroleh, $$\begin{array}{}\text{(6.6)}& E\frac{8\pi k_B^4{T}^4}{h^3{c}^3}(3!)\left(\frac{{\pi }^4}{90}\right);\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(6.7)}& E=\frac{8{\pi }^5{k}_B^4{T}^4}{15h^3{c}^3}.\end{array}$$

Dengan membandingkan pers. 6.7 dengan hukum Stefan–Boltzmann, maka kita akan menerka perhubungan ini: $$\sigma T^4\stackrel{?}{=}\frac{8{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^3}{T}^4,$$ tetapi terkaan ini tidak benar kerana jika kita kira setiap satu pemalar tersebut, kita akan dapati nilainya tidak sama dengan pemalar Stefan–Boltzmann, $\sigma$, $$\begin{array}{rl}\frac{8{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^3}& =7.5657\times {10}^{-16}\text{J}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{K}}^{-4},\\ \sigma & =5.6704\times {10}^{-8}\text{W}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-4},\\ \frac{8{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^3}& \ne \sigma .\end{array}$$

Apa yang berlaku di sini ialah $U$ dalam persamaan Planck yang kita hasilkan itu merujuk kepada ketumpatan tenaga cahaya berfrekuensi tertentu (Rujuk bahagian ‘Bentuk-Bentuk Lain Persamaan Planck’ untuk keterangan lanjut). Oleh itu, kamirannya, iaitu $\int U\text{d}\lambda$, masih merujuk kepada ketumpatan tenaga cahaya tetapi dijumlahkan untuk semua frekuensi. Sedangkan hukum Stefan–Boltzmann merujuk kepada jumlah tenaga mutlak. Kita perlukan pekali $\frac{c}{4}$ untuk memperbetulkan keadaan¹, $$\begin{array}{}\text{(6.8)}& E=\frac{c}{4}\frac{8{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^3}{T}^4\end{array}$$ Kemudian, kita boleh sahkan bahawa, $$\begin{array}{}\text{(6.9)}& \sigma =\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^2},\end{array}$$ seperti yang ingin dibuktikan.

Nave, Carl Rod. 2017. “Radiation Energy Density.” HyperPhysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/raddens.html.

Spiegel, Murray R., Seymour Lipschutz, and John Liu. 2009. Schaum’s Outline of Mathematical Handbook of Formulas and Tables. 3rd ed. McGraw-Hill.

---

1. Nave (2017)