10  Pemerolehan Persamaan Schrödinger

Bagi memunculkan persamaan Schrödinger, seharusnya kita berpegang pada andaian-andaian berikut:

Usul
  1. Bahawa tenaga sistem kuantum mematuhi perhubungan tenaga, \(E\), dan frekuensi, \(f\) seperti yang digariskan oleh postulat Planck, \[ E=hf=\hbar\omega. \tag{10.1}\]
  2. Bahawa momentum sistem kuantum mematuhi perhubungan momentum jisim, \(p\), dan momentum gelombang, \(k\), seperti yang digariskan oleh hipotesis deBroglie, \[ p=\hbar k. \tag{10.2}\]
  3. Bahawa sistem kuantum mematuhi prinsip keabadian tenaga;
  4. Bahawa fungsi gelombang \(\Psi(r,t)\) bersifat linear; dan
  5. Bahawa fungsi keupayaan \(V(r,t)\) bersandarkan ruang dan masa.

Gelombang ialah gangguan yang berayun sekitar masa dan tempat. Bentuk umum persamaan gelombang berbentuk begini: \[ \frac{\partial^2 \Psi(r, t)}{\partial t^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \Psi(r, t)}{\partial r^2}. \] Oleh itu, fungsi \(\Psi(r,t)\) yang mematuhi persamaan tersebut ialah \[ \Psi(r, t) = Ae^{i(kr - \omega t)}. \tag{10.3}\] Melalui pers. 10.1 dan pers. 10.2, kita dapati bahawa nilai \(k\) dan \(\omega\) boleh ditulis begini, \[ k = \frac{p}{\hbar},\, \omega = \frac{E}{\hbar}; \] maka pers. 10.3 menjadi begini: \[ \Psi(r, t) = Ae^{\frac{i}{\hbar}(pr - Et)}. \]

Bagi membawa sebutan tenaga dan sebutan momentum turun, kita akan membezakan fungsi \(\Psi(r,t)\) terhadap masa dan ruang, \[ \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r, t) = \frac{-iE}{\hbar}Ae^{\frac{i}{\hbar}(pr - Et)} = \frac{-iE}{\hbar}\Psi(r, t), \tag{10.4}\] \[ \frac{\partial}{\partial r}\Psi(r, t) = \frac{ip}{\hbar}Ae^{\frac{i}{\hbar}(pr - Et)} = \frac{-ip}{\hbar}\Psi(r, t). \tag{10.5}\] Lalu muncul pula soalan tentang bagaimana kita mampu kaitkan tenaga dengan momentum? Melalui persamaan tenaga kinetik, kita dapati bahawa tenaga boleh dikaitkan dengan momentum kuasa dua, \[ E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}, \tag{10.6}\] Oleh itu, pers. 10.5 perlu dibezakan sekali lagi agar muncul sebutan \(p^2\), \[ \frac{\partial^2}{\partial r^2}\Psi(r, t) = \frac{i^2p^2}{\hbar^2}\Psi(r, t). \tag{10.7}\] Apabila disusun semula pers. 10.4 dan pers. 10.7 agar ia diungkapkan dalam sebutan \(E\) dan \(p\), \[ E\Psi(r, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r, t), \] \[ p^2\Psi(r, t) = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\Psi(r, t), \] kita akan dapati bahawa kedua-dua tenaga dan momentum diungkapakn sebagai sebuah operator: \[ \hat{E} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\, \hat{p}^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}. \tag{10.8}\] Hal ini berkait dengan peranan pembolehcerap (seperti tenaga dan momentum) sebagai sebuah operator dalam perkaedahan mekanik kuantum. Cukup di sini kita tahu yang pers. 10.8 boleh dimasukkan ke dalam pers. 10.6 dan pers. 10.1 untuk menghasilkan \[ E = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial r^2} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \] yang merupakan operator Hamiltonan1 bagi zarah bebas yang tidak dipengaruhi medan. Apabila pengaruh medan dibawa masuk ke dalam persamaan, kita tambah sebutan fungsi keupayaan \(V(r, t)\), \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial r^2} + V(r, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}. \] Maka lengkaplah persamaan ini menjadi persamaan Schrödinger apabila fungsi gelombang \(\Psi(r, t)\) dipasangkan pada persamaan ini: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\Psi(r, t) + V(r, t)\Psi(r, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r, t). \tag{10.9}\]

  1. Hamiltonan ialah sebuah operator tenaga.↩︎