Contents

Persamaan Kuadratik Serta Fungsinya

Persamaan Kuadratik

Persamaan kuadaratik ialah mana-mana persamaan yang mempunyai anu berkuasa dua sebagai kuasa tertingginya. Persamaan kuadratik ada beberapa bentuk lain yang akan dibincangkan dalam buku ini tetapi semua bentuk itu boleh diungkapkan semula menjadi satu bentuk am.

Bentuk Am Persamaan Kuadratik

(1)\[ax^2 + bx + c = 0,\]

dengan keadaan bahawa \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah pemalar, serta \(a\neq0\).

Note

Istilah kuadratik berakar daripada imbuhan Latin quadra- yang bermaksud “empat”.

Persamaan kuadratik boleh dilihat sebagai ungkapan keluasan suatu segi empat yang sebahagian sisinya tidak diketahui. Malah, dalam sejarah matematik pun, permasalahan persamaan kuadaratik dipertimbangkan sebagai permasalahan mencari bahagian sisi yang tidak diketahui dalam segi empat yang diketahui luasnya. Dari pertimbangan inilah, persamaan ini mendapat nama kuadratik yang merujuk kepada segi empat ini bukan kuasanya yang bernilai dua.

Persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan tiga kaedah. Tiga kaedah tersebut ialah:

  1. Rumus kuadratik

  2. Penyempurnaan kuasa dua

  3. Pemfaktoran

Buku ini akan menerangkan ketiga-tiga kaedah ini.

Rumus Kuadratik

Kaedah yang paling mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ialah dengan menggunakan rumus kuadratik. Rumus ini dimunculkan daripada kaedah penyempurnaan kuasa dua yang akan dikongsikan dalam bahagian seterusnya. Namun, jika kita bertemu dengan jalan buntu menggunakan mana-mana kaedah lain, percayalah bahawa kita boleh bergantung harap dengan rumus kuadratik.

Punca

Punca bagi suatu persamaan kuadratik ialah penyelesaian kepada nilai \(x\). Ia menjawab persoalan “Apakah nilai \(x\) yang mengiyakan persamaan kuadratik ini?”

Rumus Kuadratik

Punca kepada sebarang persamaan kuadratik \(ax^2 + bx + c = 0\) boleh dicari menggunakan rumus:

(2)\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Umumnya, setiap persamaan kuadratik mempunyai dua punca. Hakikat ini ditonjolkan dalam rumus kuadratik di atas dengan kewujudan simbol \(\pm\). Punca pertama persamaan kuadratik diperoleh menggunakan persamaan \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) manakala punca kedua diperoleh menggunakan persamaan \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Oleh itu, kedua-dua punca dirumuskan menjadi bentuk yang ditulis dalam pers. (2).

Hint

Pertimbangkan satu contoh persamaan kuadratik yang ringkas, iaitu \(2x^2 = 8\). Kita tahu bahawa ada dua nilai \(x\) yang boleh mengiyakan persamaan tersebut. Nilai yang pertama ialah \(x_1 = 2\) dan yang kedua ialah \(x_2=-2\).

Persamaan ini adalah persamaan kuadratik yang sah kerana ia menepati ciri-ciri persamaan kuadratik yang digariskan dalam pers. (1). Jika ia ditulis semula dalam bentuk am maka persamaannya ialah: \(2x^2 + (0)x - 8=0\) (iaitu \(a=2\), \(b=0\) dan \(c=-8\)).

Malah, jika persamaan ini cuba diselesaikan menggunakan rumus kuadratik (pers. (2)) sekalipun, kita akan dapat jawapan yang sama,

\[x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2-4(2)(-8)}}{2(2)} = \pm\frac{\sqrt{8^2}}{4}= \pm 2.\]

Walaupun setiap persamaan ada dua punca, ada masanya kita mendapati bahawa puncanya kelihatannya ada satu sahaja. Hal ini terjadi kerana punca pertama dan punca kedua merujuk kepada nombor yang sama, misalnya \(x_1 = 5\) dan \(x_2 = 5\).

Ada juga masanya kita seolah-olah tidak dapat mencari puncanya. Hal ini pula terjadi kerana nilai dalam surd adalah membawa ke nombor negatif. Surd bernombor negatif tidak boleh diselesaikan menggunakan nombor-nombor nyata. Oleh itu, kita katakan bahawa persamaan kuadratik jenis ini tiada penyelesaian nyata. Ada penyelesaiannya, tapi bukan dengan menggunakan nombor nyata.

Dengan itu, kita boleh simpulkan bahawa setiap persaman kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga jenis:

  1. Yang mempunyai dua punca.

  2. Yang mempunyai satu punca.

  3. Yang tidak mempunyai punca nyata.

Penyempurnaan Kuasa Dua

Pemfaktoran Persamaan Kuadratik